Элементарная Тэорыя Мностваў

2015-11-11 12:50:50 / author: sharkov views 641Total views: 641 / 5Views for 7 days: 5
Thanks to Best cliparts
source article: http://www.efgh.com/math/algebra/sets.htm

Philip J. Erdelsky

July 20, 2010

Калі ласка, пішыце каментары, выпраўлення і дапаўненні да вэб-майстру pje@efgh.com.

1. Увядзенне

Большасць, калі не ўсе, з чыстай матэматыкі сфармуляваная на мове мностваў. Вы можаце заўважыць, што гэты раздзел змяшчае мноства азначэнняў і толькі некалькі тэарэм. Зрэшты, нават вызначэнне можа ўтрымліваць вялікая матэматычнай мудрасці. Спатрэбілася матэматыкаў стагоддзяў сфармуляваць шэраг асноўных азначэнняў.

Набор ўяўляе сабой калекцыю прадметаў, якія разглядаюцца як адзінае цэлае. Калі есць толькі некалькі прадметаў, камплект можа быць вызначана шляхам пералічэння іх у фігурныя дужкі. Напрыклад, мноства а можа быць вызначана наступным чынам:

A = {1,2,3}

Прадметы ў наборы называюцца элементамі або членамі мноства. Яны таксама заяўляюць, што належаць да набору або ў набор, і набор кажуць, што іх утрымліваюць. Сімвал ∈ выкарыстоўваецца для выражэння гэтага адносіны -- а∉ А азначае, што а належыць А, а∉ А азначае, што а не належыць А.

Два мноства роўныя, калі яны ўтрымліваюць дакладна такія ж элементы. Гэта значыць, набор a роўна мноству B, калі кожны элемент з a таксама з'яўляецца элементам з B, і кожны элемент з B з'яўляецца таксама элементам з A. парадак, у якім элементы набору пералічаныя ў яго вызначэнне не мае ніякага дачынення. Напрыклад, наборы {1,2,3} і {3,2,1} роўныя.

Элемент не можа належаць да набору больш чым адзін раз. Таму, калі мноства вызначаецца пералікам яго элементаў, кожны элемент паказваецца толькі адзін раз.

Мноства, якое не ўтрымлівае элементаў, называецца пустым мноствам і пазначаецца сімвалам ∅.

Калі кожны элемент мноства a з'яўляецца таксама элементам мноства B, то a называецца падмноствам B, то сімвалічна прадстаўлены на⊆ B або B гэта сказаў да А. адносяцца кожнае мноства з'яўляецца падмноствам самога сябе, і пустое мноства з'яўляецца падмноствам кожнага мноства.

Калі A⊆ B і існуе па меншай меры адзін элемент з B, які не з'яўляецца элементам a, то a называецца ўласным падмноствам B, сімвалічна прадстаўлены А⊂ B.

Падмноства часта вызначаюць некаторыя ўласцівасці сваіх элементаў. Напрыклад, хай a = {1,2,3,4,5,6}, і хай B = {2,4,6}. Тады B можа быць вызначана як мноства ўсіх элементаў з a, якія нават, або ў сімвалах:

B ={x∈ A | x яшчэ}.

Тут сімвал | азначае "такіх, што". Слова "ўсе" разумеюць. У некаторых выпадках ўстаноўка можа таксама быць зразуметым.

Перасячэнне любога ліку мностваў з'яўляецца сукупнасць элементаў, усе яны маюць агульную рысу. Напрыклад, скрыжаванне {1,2,3,4,5}, {2,3,4,5,6,7,8,9} і {3,5,7,9} з'яўляецца {3,5}. Ясна, што скрыжаванне калекцыю мностваў з'яўляецца падмноствам кожнага мноства ў калекцыі. Скрыжаванне двух мностваў A і B сімвалічна прадстаўлена А∩Б.

Аперацыя перасячэння валодае некалькімі відавочнымі ўласцівасцямі:

  • Камутатыўнасць: A∩B = B∩A.
  • Асацыятыўнасць: (A∩B)∩C = A∩(B∩C).
  • A∩B = A if, і толькі калі, A⊆ B.

Аб'яднанне любога ліку мностваў называецца мноства ўсіх элементаў. Напрыклад Саюз {1,2,3,4,5}, {2,3,4,5,6,7,8,9} і {3,5,7,9} з'яўляецца {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Зразумела, што кожны набор у саюз падмноства іх саюз. Аб'яднанне двух мностваў A і B сімвалічна прадстаўлена А∪B.

Аперацыя аб'яднання валодае некалькімі відавочнымі ўласцівасцямі:

  • Камутатыўнасць: A∪B = B∪A.
  • Асацыятыўнасць: (A∪B)∪C = A∪(B∪C).
  • A∪B = B if, і толькі калі, A⊆ B.

Два мноства называюцца непересекающимися, калі яны не маюць агульных элементаў, г. зн. A і B з'яўляюцца непересекающимися, калі А∩У = ∅. Тры ці больш набораў, называюцца непересекающимися, калі кожныя два з іх парамі не перасякаюцца.

Умоўныя абазначэнні: А-B выкарыстоўваецца для абазначэння мноства ўсіх элементаў, якія не з'яўляюцца элементамі ст. гэтая аперацыя мае не стандартнае імя, але калі B з'яўляецца падмноствам А, А-B часам кажуць дадаткам з B. У. А.

Адносіны паміж наборамі часта наглядна прадстаўлены на дыяграме Венна, у якіх наборы прадстаўлены як інтэр'еры перасякальных колаў (або іншых плоскіх фігур). Набор камбінацый прадстаўлены тэрыторыі, абмежаванай акружнасцямі, як паказана ў наступным прыкладзе для двух набораў:

Элементарная Тэорыя Мностваў

2. Упарадкаваных Пар

Спарадкаваная пара-гэта сукупнасць двух элементаў у зададзеным парадку. Спарадкаваная пара звычайна пішацца (а,b), дзе a-першы элемент і б, другі элемент. Дзве спарадкаваныя пары (а,b) і (c,d) роўныя, калі A=C і B=D. у Рэверсіўныя элементы ўпарадкаванай пары дае іншай упарадкаванай парай, калі элементы не супадаюць. Напрыклад, спарадкаваныя пары (1,2) не супадае з упарадкаванай парай (2,1).

Для двух мностваў A і B, вэктарная твор у⨯ B з'яўляецца мноства ўсіх упарадкаваных пар, у якіх першы і другі элементы з'яўляюцца элементамі A і B, адпаведна. То есць

A⨯ B = {(a,b) ∣ a∈ A i b∈ B}

Замовіў троек, чацверак і інш. могуць быць пэўнымі, але яны рэдка неабходныя.

3. Адносіны

У стаўленне R на мностве A з'яўляецца проста наборам упарадкаваных пар элементаў з A, i.e., R ⊆ A⨯ A А. два элемента A і B называюцца падпарадкоўвацца стаўленне, калі (a,b) знаходзіцца ў R. аднак, для большасці адносін, набор натацыя не выкарыстоўваецца. Замест гэтага, сімвалам ~, размешчаных паміж элементамі, каб паказаць, што яны падпарадкоўваюцца адносінах; напрыклад,a-b азначае, што (А,B) у R.

Астатнія сімвалы, часта выкарыстоўваюцца для адносін

= > < ≥ ≤ ∣ ≠ ⊃ ⊂ ⊇ ⊆ ≡

Найбольш карысным адносін маюць некаторыя дадатковыя ўласцівасці. Стаўленне ~ на мностве a з'яўляецца эквивалентностью, калі выконваюцца наступныя ўтрымання для кожнага а, b і C:

  • Гэта рэфлексійна: А~А.
  • Гэта сіметрычна: а~b мае на ўвазе, што b~а.
  • Гэта з'яўляецца пераходным: а~b і B~C не азначае, што a-c.

Набор непусты падмноства мноства a называецца раздзел, калі кожны элемент належыць аднаму і толькі аднаму з падмноства; г. зн., калі падмноства парамі не перасякаюцца і іх аб'яднанне А. наступная тэарэма ўсталеўвае сувязь паміж стаўленнем эквівалентнасці і перагародкі.

Тэарэма 3.1. Калі ~ з'яўляецца стаўленнем эквівалентнасці на мностве a, то існуе разбіцце Ўсталяваць, што a~b, калі і толькі калі A і B належаць адной і той жа набор у секцыі. І наадварот, калі p з'яўляецца раздзел, затым "A і B належаць адной і той жа набору ў п" з'яўляецца стаўленнем эквівалентнасці.

Доказ. Разгледзім мноства p падмноства Ta = {x ∈ A | x~a}. Выразна кожны належыць па меншай меры адно падмноства ў P, а менавіта Ta. Адсюль і ўсталеўвае ў P-непустыя і іх саюз. А.

Цяпер хай TA і TB будзе два падмноства у. п. калі яны есць элемент з агульнага, а потым C~A і C~B і х~B для любога x ∈ Тб. Па транзитивности х~A і X ∈ MN таксама. Аналагічныя аргументы паказваюць, што кожны элемент ТП-гэта таксама элемент Тб. Такім чынам, TA і TB роўныя. Калі два падмноства ў p, маюць агульны элемент, то яны парамі не перасякаюцца. Такім чынам, p складае неабходны раздзел.

Адваротнае зацвярджэнне трывіяльна. █

Наборы ў секцыі, звязаныя такім чынам з стаўленнем эквівалентнасці называюцца класы эквівалентнасці. Яны часта выкарыстоўваюцца для вызначэння матэматычных сістэм.

Адносін эквівалентнасці двух мностваў A і B можа выкарыстоўвацца, каб вызначыць стаўленне эквівалентнасці на⨯ Б відавочным чынам: (а,b) эквівалентна (c,d) калі a эквівалентна C і B эквівалентна d'.

4. Заказ

Частковы парадак на мностве a з'яўляецца стаўленнем ≤ наступныя ўласцівасці для кожнага а, b і C:

  • Гэта рэфлексійна: А ≤ А.
  • Гэта антисимметричные: а ≤ b і b ≤ a ў азначае, што А = Б
  • Гэта з'яўляецца пераходным: а ≤ b і B ≤ C і азначае, што a ≤ c.

Частковы парадак ≤ на мностве a называецца лінейны парадак (або сумы замовы), калі для любых двух элементаў A і B з А, А ≤ B або B ≤ A (або абодва, калі А = Б).

Мноства ўсіх падмноства мноства часткова спарадкаваныя па ўключэнню: S ≤ T. е. S⊆ T. гэты частковы парадак звычайна не ўсяго таго, таму што мы можам знайсці два падмноства, напрыклад, {1,2,3} і {2,3,4}, такія, што ні на есць падмноства іншага.

Знаемае стаўленне ≤ у арыфметыцы з'яўляецца поўным парадкам.

У працы з частковым або поўным парадкам, ен з'яўляецца агульным для вызначэння некаторых звязаных з імі адносін:

  • a ≥ b значыць b ≤ a,
  • a < b значыць a ≤ b and a ≠ b,
  • a > b значыць b ≤ a and b ≠ a.

Існуе альтэрнатыўны спосаб вызначэння агульнага і частковага колькасці заказаў. Стаўленне < з'яўляецца частковым парадкам, калі падпарадкоўваецца наступным двум умовам:

  • Яна з'яўляецца пераходнай: a < b and b < c мяркуюць, што a < c.
  • a < a rel="nofollow" rel="nofollow" is заўседы ілжыва.

Частковы парадак з'яўляецца поўным парадкам, калі яно з'яўляецца таксама trichotomous: для любых двух элементаў A і B, адно і толькі адно з наступных выразаў дакладна:

  • a < b,
  • a = b,
  • b < a.

Іншыя адносіны вызначаюцца ў тэрмінах <:

  • a ≤ b значыць a < b or a = b.
  • a ≥ b значыць b < a rel="nofollow" rel="nofollow" or a = b.
  • a > b значыць b < a.

Гэта можа быць паказана, што абодва спосабу вызначэння прыватных і поўных заказаў эквівалентныя.

Як правіла, імены "частковы парадак" і "агульны парадак" прымяняецца да ўсей сукупнасці адносін ≤, <, >, і ≥ не ўдакладняючы, якія гэта стаўленне парадку і якія звязаны з ім.

5. Функцыі

Функцыя F з мноства A у мноства B называецца правіла, якое, улічваючы любы элемент x з a, вырабляе роўна адзін адпаведны элемент з б у асобе F(Х). Гэтая канцэпцыя часта выяўляецца сімвалічна як F:а⟶Б.

Функцыя таксама называецца супастаўленне. Абодва назвы шырока выкарыстоўваюцца ў матэматыцы, але з гэтага моманту далей будзем выкарыстоўваць назву функцыі.

Другі, і больш абстрактнае, спосаб вызначэння функцыі f:у⟶B з'яўляецца як падмноства ⨯ B такая, што для кожнага элемента х з А існуе адна і толькі адна пара замовіла ў подмножестве, першы элемент якога роўны x. Другі элемент пары з'яўляецца тое вызначана як F(х).

Элемент F(х) называецца выявай функцыі x пад. Функцыя F таксама сказаў, каб карту або несці элемент элемент x F(х).

Калі F:А⟶B, то a называецца даменам функцыі f, а мноства ўсіх элементаў з B, якія з'яўляюцца вобразамі элементаў у называецца дыяпазон. Ф. Мностваў A і B не павінны адрознівацца; у сутнасці, яны аднолькавыя ва шматлікіх прыкладаннях.

Некаторыя функцыі маюць спецыяльныя ўласцівасці, якія робяць іх асабліва цікавымі або карыснымі. Калі F:а⟶b, а затым

Калі дыяпазон роўны B, то F называецца surjection, у сюръективная функцыя, або функцыя на Б. функцыя часам таксама кажуць "на", Але выкарыстанне прыназоўніка як прыметнік гучыць высакамоўна, што добрыя пісьменнікі пазбягаюць яго.

Калі дыяпазон з'яўляецца падмноствам B, то F называецца функцыяй з A ў Б.

Калі Ф нясе ў сабе больш аднаго элемента з яго дамена ў кожны элемент свайго дыяпазону, г. зн. калі F(Х) = f(г) вынікае, што х = у, то F называецца ін'екцыяй, инъективным функцыя, або адзін да адной функцыі.

Калі F з'яўляецца адначасова сюръективно і адзін-да-аднаму, то яно называецца адзін-да-адназначнае адпаведнасць з A і B. калі F-адзін-у-адзін, але не сюръективно, то яно называецца " адзін-да-адназначнае адпаведнасць колькасці і яго спектр, які з'яўляецца ўласным падмноствам в.

Калі F:А⟶B з'яўляецца адно-адназначнае адпаведнасць тады яна мае зваротную функцыю пад назвай f -1:B⟶A пэўнай

f -1(x) = элемент w з A такія тхаt f(w) = x.

Зразумела, адваротнае таксама дакладна. Калі функцыя мае зваротную, то гэта адно-адназначнае адпаведнасць.

Дзве функцыі f:A⟶B i g:A⟶B роўныя, калі f(x) = g(x) для кожнага x in A

Калі ў межах адной функцыі з'яўляецца падмноствам дамена другога, то кампазіт функцыя вызначаецца шляхам прымянення функцыі паслядоўна. Гэта значыць, калі f:A⟶B і g:B⟶C, затым у складовыя функцыі (f◌g):A⟶C вызначаецца па наступнай формуле

(f ◌g)(x) = g(f(x)) для кожнага x in A.

Калі функцыі маюць адпаведныя дамены і дыяпазоны, кампазіцыя з'яўляецца асацыятыўнай,i.e, (f ◌g) ◌h = f ◌(g ◌h).

Адзін-у-адзін функцыя f:A⟶B ад двух сэтах з некаторую структуру называецца ізаморфныя, калі яна захоўвае структуру. Мы бачылі адзін прыклад з мноства са структурай: часткова спарадкаваным мностве. Калі мноства A і B з'яўляюцца часткова упарадкаваннем, то f:A⟶B з'яўляецца ізаморфныя, калі яно адзін-у-адзін, сюръективно, і F(Х) < F(у), калі і толькі калі х < у.

Изоморфизм з структураванага мноства з самім сабой называецца автоморфизмом. Ясна, што тоесная функцыя (f(x) = x для ўсіх x) з'яўляецца автоморфизмом любы структураваны набор. Добры прыклад нетрывіяльнага автоморфизма з'яўляецца функцыяй, якая ажыццяўляе комплекснае лік у яго конъюгат (я.е,. f(x+iy) = x-iy для ўсіх рэальных X і Y). Гэта адзін-у-адзін, сюръективно і захоўвае складанне і множанне комплексных лікаў.

Выкажам здагадку, што f:A⟶B і есць адносін эквівалентнасці на мностваў A і B. хай PA і PB адпаведна мностваў класаў эквівалентнасці A і B, адпаведна. Калі F нясе эквівалентных элементаў у эквівалентныя элементы з B, г. зн. калі a ~ b мае на ўвазе, што F(А) ~ F(б), затым з'явілася унікальная функцыя G:PA ⟶PB вызначаецца наступным чынам. Пазначым клас эквівалентнасці ў PA. Абярыце любы элемент з гэтага класа эквівалентнасці і вызначаюць P(АМ) клас эквівалентнасці, які змяшчае функцыю F(а). Ен легка паказвае, што гэта не залежыць ад канкрэтнага элемента, абранага з PA. Акрамя таго, г спадчыну многія ўласцівасці функцыі f; напрыклад, калі F сюръективно, так што есць г

5. Аперацыі

Унарная аперацыя на мностве-гэта функцыя, абсяг вызначэння якой заключаецца ў тым, што ўсталяваць. Што адрознівае унарную аперацыю ад звычайнай функцыі-гэта натацыя выкарыстоўваецца, і часта яго ўзаемаадносіны з іншымі функцыямі ці аперацыямі. Напрыклад, функцыі, якія нясе любы рэчыўны лік х у лік -x ўяўляе сабой унарную аперацыю адмаўлення называюць. Дыяпазон функцыя часта адзін і той жа набор, але гэта і не патрабуецца.

Бінарная аперацыя-гэта функцыя, абсяг вызначэння якой з'яўляецца вэктарная твор двух мностваў (або вэктарная твор набор з сабой). Напрыклад, складанне і множанне з'яўляюцца дзве бінарныя аперацыі на мностве Р⨯ R, дзе R-мноства сапраўдных лікаў. Вобраз спарадкаваная пара (х,у) звычайна запісваецца ў выглядзе x+y для таго і XY для множання. Тут X і Y называюцца операндами. Былы абазначэння звычайна выкарыстоўваецца толькі для складання, або аперацый вельмі шмат, як дадатак. Другая запіс выкарыстоўваецца для больш агульных аперацый.

Унарные і бінарныя аперацыі вельмі распаўсюджаныя ў матэматыцы; аперацыі з трыма ці больш аперанд рэдкія, за выключэннем пашырэнняў бінарных аперацый, як адзначана ніжэй. Бінарныя аперацыі на адным мностве сустракаюцца часцей, чым бінарныя аперацыі над парамі мностваў, але абодва сустракаюцца часта.

Бінарная аперацыя называецца асацыятыўнай, калі яна можа быць выкарыстана на трох аперанд без уліку іх групоўка, г. зн. калі

(xy)z = x(yz)

(x + y) + z = x + (y + z)

Калі бінарная аперацыя з'яўляецца асацыятыўнай, то можаце напісаць вынік для трох аперанд без дужак, робячы гэта выразна пэўная аперацыя з трыма операндами:

xyz = (xy)z = x(yz)

x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z)

Звычайныя складанне і множанне з'яўляюцца асацыятыўнымі; як і многія іншыя бінарныя аперацыі. Склад функцый з'яўляецца асацыятыўнай бінарнай аперацыі (пры ўмове, што функцыі маюць прыдатныя дамены і дыяпазоны). На самай справе, большасць бінарныя аперацыі ассоциативны.

Калі бінарная аперацыя з'яўляецца асацыятыўнай, то легка падоўжыць маемасці для аперацый на чатыры ці больш аперанд:

wxyz = (wxy)z = (w(xy))z = w((xy)z) = w(xyz).

Бінарная аперацыя з'яўляецца коммутативной, калі парадак аперанд не ўплывае на вынік; г. зн., калі

xy = yx

x + y = y + x

Калі аперацыя з'яўляецца коммутативной асацыятыўнай таксама, камутатыўнасць можа быць легка пашырана для аперацый на тры або больш аперанд:

xyz = (xy)z = (yx)z = yxz = y(xz) = (yx)z = yxz, etc.

Бінарныя аперацыі, якія з'яўляюцца коммутативной, але не асацыятыўнай вельмі рэдкія. Бінарныя аперацыі, якія з'яўляюцца асацыятыўнымі, але не коммутативными з'яўляюцца даволі распаўсюджанымі. Кампазіцыя функцый-гэта адзін з прыкладаў; дэманстрацыя гэтага факту будзе дадзена пазней.

Зараз разгледзім бінарную аперацыю A⨯ Б з яе дыяпазон у C (якія не абавязкова павінны быць розныя наборы). Выкажам здагадку, што існуе эквівалентнасць аперацый на гэтыя наборы (якія не абавязкова павінны быць рознымі), і бінарную аперацыю, захоўвае эквівалентнасць, г. зн., аперацыі пры нанясенні эквівалент аперанд дае эквівалентныя вынікі, або A ~ B і C ~ слановай азначае, што AC ~ BD. Затым, проста як функцыю адной зменнай быў падоўжаны функцый на класы эквівалентнасці, аперацыі над двума зменнымі можа быць пашыраны падобным чынам. Калі A і B-любыя элементы класаў эквівалентнасці P і Q, адпаведна, то кнопкі PQ вызначаецца як клас эквівалентнасці, які змяшчае АБСА. Новая аперацыя ў спадчыну многія ўласцівасці старога, уключаючы асацыятыўнасць і камутатыўнасць.

paper4pc
Add a comment:
Sign in

See also

Узрост Георга III

Эпоха Георга III

2015-11-09 17:52:09

Дзесяцігоддзе міністэрскай нестабільнасці 1760-1770 Георг III стаў каралем 25 кастрычніка 1760, пасля смерці свайго дзеда Георга II і быў каранаваны ў...

WebKut

WebKut

2015-11-09 16:31:49

WebKut паветра прыкладанне, якое дазваляе захопліваць вэб-старонкі, або часткі з іх у вельмі просты спосаб. Ен дае Вам 3 варыянту захопу:...

Электрычнасць Падручнік

Электрычнасць Падручнік

2015-11-09 19:37:20

Гэта Навучальны дапаможнік уяўляе сабой кароткае ўвядзенне паняцця зарада, напружання і току. Гэты ўрок не гэтак доўгі і нудны, як...

C++

Мова Програмування C++

2015-11-06 11:31:20

C++ - це мова програмування загального призначення з ухилом у бік системного програмування, який це краще С підтримує абстракції даних підтримує об'єктно-орієнтоване...